مقدمه:
یک کاربرد مهم حساب دیفرانسیل، پیدا کردن مینیمم موضعی یک تابع است. مسائل مربوط به ماکزیمم کردن نیز با تئوری مینیمم کردن قابل حل هستند. زیرا ماکزیمم F در نقطه ای یافت می شود که -F مینیمم خود را اختیار می کند.
در حساب دیفرانسیل تکنیک اساسی برای مینیمم کردن، مشتق گیری از تابعی که می‌خواهیم آن را مینیمم کنیم و مساوی صفر قرار دادن آن است.
نقاطی که معادله حاصل را ارضا می کنند، نقاط مورد نظر هستند. این تکنیک را می توان برای توابع یک یا چند متغیره نیز استفاده کرد. برای مثال اگر یک مقدار مینیمم را بخواهیم، به نقاطی نگاه می کنیم که هر سه مشتق پاره ای برابر صفر باشند.
این روند را نمی توان در محاسبات عدی به عنوان یک هدف عمومی در نظر گرفت. زیرا نیاز به مشتقی دارد که با حل یک یا چند معادله بر حسب یک یا چند متغیر بدست می آید. این کار به همان سختی حل مسئله بصورت مستقیم است.
مسائل مقید[1] و نامقید[2] مینیمم سازی:
مسائل مینیمم سازی به دو شکل هستند:نامقید و مقید:
در یک مسئله ی مینیمم سازی نامقید یک تابع F از یک فضای n بعدی به خط حقیقی R تعریف شده و یک نقطه ی با این خاصیت که
جستجو می شود.
نقاط در را بصورت z, y, x و... نشان می دهیم. اگر نیاز بود که مولفه های یک نقطه را نشان دهیم می نویسیم:
در یک مسئله ی مینیمم سازی مقید، زیر مجموعه ی K در مشخص می شود . یک نقطة
جستجو می شود که برای آن:
چنین مسائلی بسیار مشکل ترند، زیرا نیاز است که نقاط در K در نظر گرفته شوند. بعضی مواقع مجموعه ی K به طریقی پیچیده تعریف می شود.
سهمی گون بیضوی به معادله‌ی
را در نظر بگیرید که در شکل 1-14 مشخص شده است. به وضوح مینیمم نامقید در نقطه ی
(1و1) ظاهر می شود، زیرا:
اگر
مینیمم مقید 4 است و در (0،0) اتفاق می افتد.
Matlab دارای قسمتی است برای بهینه سازی که توسط اندرو گریس[3] طراحی شده و شامل دستورات زیادی برای بهینه سازی توابع عمومی خطی و غیر خطی است.
برای مثال ما می توانیم مسئله ی مینیمم سازی مربوط به سهمی گون بیضوی نشان داده شده در شکل 1-14 را حل نماییم.
ابتدا یک M-file به نام q1.m می نویسیم و تابع را تعریف می کنیم:
function f=q1(x)
آنگاه از Matlab استفاده می کنیم تا مقدار مینیمم را در نزدیکی نقطه ی برای این تابع بدست آورد:
type q1
مسائل 1-14
1-برای تابع نقطه ای مینیمم را پیدا کنید. سپس نقطه ی مینیمم را روی مجموعه ی K تعیین کنید که K با این نامساوی ها تعیین می شود:
سپس مسئله را در حالتی حل کنید که K به صورت زیر تعریف می شود:
2-برای تابع ، نقطه ی مینیمم را پیدا کنید.
راهنمایی:قرار دهید و
3-اگر F روی بازه ی پیوسته باشد و فقط یک نقطه ی مینیمم موضعی داشته باشد در این صورت F چند ماکزیمم موضعی می تواند داشته باشد؟
4-در الگوریتم جستجوی فیبوناچی، برای دو حالت عبارتی برای بدست آورید.
5-از چهار مرحله ی الگوریتم جستجوی فیبوناچی با قرار دادن استفاده کنید و مقادیر زیر را مشخص کنید.
الف)مینیمم تابع روی
ب)مینیمم تابع روی
ج)ماکزیمم تابع روی
6-فرض کنید F یک تابع پیوسته ی تک نمایی تعریف شده روی بازه ی باشد. فرض کنید مقادیر F در n نقطه ی داده شده باشد. چگونه می توان نقطه ی مینیمم را فقط از میان مقادیر و به طور دقیق معلوم کرد؟
7-می دانیم اعداد دنباله ی فیبوناچی را رابطة بازگشتی بدست می‌آیند که یک دنباله ی بازگشتی خطی با ضرایب ثابت است. با فرض کردن به این نتیجه برسید که دو مقدار می تواند داشته باشد و با شرایط ابتدایی ضرایب A و B را محاسبه کنید که در آن و همچنین تحقیق کنید که
نشان دهید این نتایج با معادلات (9) و (10) در بخش 3-3 سازگارند.
8-با توجه به الگوریتم نسبت طلایی و مسئله ی قبل ثابت کنید و و ، سپس تحقیق کنید که به میل می کند وقتی .
9-تحقیق کنید که در الگوریتم نسبت طلایی برقرار است.
راهنمایی:از استفاده کنید.
10-اگر F تک نمایی روی بازه ای به طول L باشد، حداقل چند مرحله باید الگوریتم نسبت طلایی انجام گیرد تا نقطه ی مینیمم با خطای کمتر از تقریب زده شود.
11-درمسئله قبلی n چقدر باید بزرگ باشد اگر L=1 و K=10؟
12-با استفاده کردن از الگوریتم تفاضل تقسیمی[4] بر روی جدول
نشان دهید که درون یابی درجه دوم با روش نیوتون به صورت زیر است:
که a و b و c از معادلة (7) بدست می آیند. سپس فرمول های مربوط به t و را که در (7) داده شده تحقیق کنید.
13-اگر ضرایب به راحتی بتوانند برای نوشته شوند، روش نیوتون برای پیدا کردن نقطه ی مینیمم F چگونه می تواند به کار گرفته شود.
14-اگر ضرایب موجود باشند روش سکانت برای پیدا کردن نقطه ی مینیمم F چگونه می تواند به کار گرفته شود؟
15-نسبت طلایی ، خواص بسیار زیادی دارد برای مثال:
الف)
ب)
ج)
د)
این خواص را ثابت کنید.
